Question

Укажите в градусах значение суммы всех корней уравнения

Answer 1

ОДЗ: (так как tgx=sinx / cosx)

$cosx\neq 0\ \ => \ \ x\neq \frac{\pi}{2} +\pi n, n \in Z$

Решение:

$sinx +1=(1-sin(270 ^{\circ}-2x))*tg^2x\\ \\ sinx +1=(1+cos2x)*tg^2x\\ \\ sinx +1=(1+2cos^2x-1)*\frac{sin^2x}{cos^2x} \\ \\ sinx +1=2cos^2x*\frac{sin^2x}{cos^2x} \\ \\ sinx+1=2sin^2x\\ \\ 2sin^2x-sinx-1=0\\ \\ sinx=t, \ \ -1\leq t\leq 1\\ \\ 2t^2-t-1=0\\ \\ D=1-4*2*(-1)=9=3^2\\ \\ t_1=\frac{1-3}{2*2} =-\frac{1}{2}$

$t_2=\frac{1+3}{2*2}=1\\ \\ \begin{bmatrix}sinx=-\frac{1}{2}\\ \\ sinx=1\end{matrix} \ \Leftrightarrow \ \begin{bmatrix}x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\\ \\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\\ \\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, n \in Z \end{matrix}$

Корень x=π/2 +2πn - не удовлетворяет ОДЗ

Значение корней в градусах: (надо просто вместо π писать 180°)

$\begin{bmatrix}x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n=-30^{\circ}+360^{\circ}n\\ \\ x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n=-150^{\circ}+360^{\circ}n, n \in Z \end{matrix}$

на отрезке [-270°; 90°] находятся два корня: -150° и -30°

-150°-30°=-180°

ОТВЕТ: -180°