Question

Тригонометрия родная)) нужно доказать тождества, сижу ломаю голову второй час с этими тремя равенствами. Помогите пожалуйста)

Answer 1

1)

слева

$tg\alpha +\frac{1}{cos\alpha} -1=\frac{sin\alpha+1-cos\alpha}{cos\alpha}$

справа

$\frac{\sqrt{2}sin\frac{\alpha}{2}}{sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})} =\\ \\ = \frac{\sqrt{2}sin\frac{\alpha}{2}}{sin\frac{\pi}{4}cos\frac{\alpha}{2}-cos\frac{\pi}{4}sin\frac{\alpha}{2}} =\\ \\ = \frac{2sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2-sin\frac{\alpha}{2}}} =\\ \\ \frac{2sin\frac{\alpha}{2}(cos\frac{\alpha}{2}+sin\frac{\alpha}{2}}{cos^2\frac{\alpha}{2}-sin^2\frac{\alpha}{2}}} = \frac{sin\alpha+2sin^2\frac{\alpha}{2}}{cos\alpha} =\\ \\ \frac{sinx+1-cos\alpha}{cos\alpha}$

2)

слева

cos⁶α+sin⁶α=(cos²α+sin²α)³-3cos⁴αsin²α-3sin⁴αcos²α=1-3sin²αcos²α;

справа

$\frac{5+3cos4\alpha}{8}=\frac{5+3(1-2sin^22\alpha)}{8}=1-\frac{6sin^{2}2\alpha}{8} =1-\frac{6(2sin\alpha cos\alpha)^2}{8}=1-3sin^2\alpha cos^2\alpha$

3)

sin(π+α)=-sinα

sin((4π/3)+α)=sin(π+(π/3)+α)=-sin((π/3)+α)

sin((2π/3)+α)=sin(π-(π/3)+α)=sin((π/3)-α)

sin((π/3)+α)sin((π/3)-α)=(sin(π/3)cosα+cos(π/3)sinα)·(sin(π/3)cosα-cos(π/3)sinα)=

=(3/4)cos²α-(1/4)sin²α=(3/4)·(1-sin²α)-(1/4)sin²α=(3/4)-sin²α

слева

sin(π+α)sin((4π/3)+α)sin((2π/3)+α)=-sinα(-(3/4)+sin²α)=(3/4)sinα-sin³α

и справа

(1/4)sin3α= (3/4)sinα - sin³α