Question

11 в степени(2n+1) +3×9 в степени(n)
Докажите что при любых n принадлежит N
кратно 7

Answer 1

${11}^{2n + 1} + 3 \times {9}^{n} = \\ = {11}^{2n + 1} + {3}^{1} \times {3}^{2n} = \\ {11}^{2n + 1} + {3}^{2n + 1} = \\ = (11 + 3)( {11}^{2n} - {11}^{2n - 1} 3 + \\ + {11}^{2n - 2} {3}^{2} - \\ - ... - 11 \times {3}^{2n - 1} + {3}^{2n} ) = \\ = 2 \times 7 \times ( {11}^{2n} - {11}^{2n - 1} 3 + \\ + {11}^{2n - 2} {3}^{2} - \\ - ... - 11 \times {3}^{2n - 1} + {3}^{2n} )$
Так как один из множителей 7, то это число делится на 7 при n€Z