Question

Пусть f(z) - аналитическая функция комплексной переменной z= x+iy. Известно, что функция f(z) представима в виде f(z) = u(x,y) + i(e^x siny +2xy), где u(x,y) - вещественная функция . Найти функцию u(x,y)

Answer 1

$f(z)=u(x,y)+i(e^x siny+2xy)$

Условие Коши-Римана:

$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial u }{\partial x}=\frac{\partial v }{\partial y} \\ \\ \frac{\partial v }{\partial x}=-\frac{\partial u }{\partial y} \end{matrix}\right.$

В данном случае

$v(x,y)=e^xsiny+2xy$

$\frac{\partial v }{\partial y}=e^xcosy+2x=\frac{\partial u }{\partial x}\\ \\ u=\int\limits (e^xcosy+2x)\, dx =e^xcosy+x^2+F(y)$

$\frac{\partial u }{\partial y}=-e^xsiny+F'(y)\\ \\ \frac{\partial v }{\partial x}=e^xsiny+2y \\\\ \frac{\partial v }{\partial x}=-\frac{\partial u }{\partial y} \\ \\ e^xsiny+2y=e^xsiny-F'(y)\\ \\ F'(y)=-2y \\ \\ F(y)=\int\limits{(-2y)} \, dy =-y^2 +C\\ \\ OTBET: \ u(x,y)=e^xcosy+x^2-y^2+C$