Question

Найдите инфимум и супремум для множества { (( − 1 )^n)*((1/4) − 2/n ) : n ∈ N } . Ответ укажите в виде десятичных дробей, разделенных пробелом.

Answer 1

Докажем вначале важное утверждение которым и воспользуемся.

Утверждение:

Пусть А - непустое и не конечное множество, так что $A\subseteq \mathbb R$. Предположим что существует $x \in \mathbb R$ так что $\forall y \in A \Rightarrow y\leq x$. Если существует последовательность $(a_n)$ элементов из А выполняющая $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = x$ то $\sup A=x$.

Доказательство:

Допустим от противного, что $\sup A \ne x$, тогда существует $z \in \mathbb R$ так что $\forall y\in A \Rightarrow y \leq z \land z < x$.

Из-за того что $a_n \leq z$, обязательно выполняется $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \leq z < x$ что противоречит тому что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = x$.

Следовательно $\sup A = x$.

Существует эквивалентное утверждение связанное с инфимумом, но доказывать его не буду (оно аналогично прошлому доказательству, но с некоторыми изменениями).

Теперь решим саму задачу:

Заметим что данное множество состоит из элементов последовательности $a_n =(-1)^n \cdot ((1/4)-2/n)$, а также тот факт что для всех $n\in \mathbb N$:

$\displaystyle |a_n| = 1/4 - 2/n < 1/4$

Т.е.:

$-1/4 < a_n <1/4$

Рассмотрим две подпоследовательности - $(a_{2n}), (a_{2n-1})$

Так как:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{2n} = 1/4\\ \lim_{n \to \infty} a_{2n-1}=-1/4$

Получаем: $\sup A = 1/4, \inf A = -1/4$