Question

Решите лог. Уравнение пожалуйста

Answer 1

Область определения: { x + √(3-a) > 0; x > -√(3-a); a <= 3 { a + 1 - x > 0; x < a + 1 Заметим, что -√(3-a) < 0, так как корень арифметический (неотрицательный). С учетом обоих неравенств получаем  x ∈ (-√(3-a); a+1) < 4 Решаем само уравнение. Сведем все логарифмы к одному основанию 2. $log_{1/2} (a+1-x)=-log_2(a+1-x)$

$log_4(9)=\frac{lg(9)}{lg(4)}=\frac{2lg(3)}{2lg(2)} =\frac{lg(3)}{lg(2)}=log_2(3)$ Получаем $log_2(x+\sqrt{3-a}) - log_2(1+a-x)=log_2(3)$

$log_2\frac{x+\sqrt{3-a}}{1+a-x} =log_2(3)$ Основания логарифмов одинаковы, значит, и выражения равны. $\frac{x+\sqrt{3-a}}{1+a-x}=3$

$\frac{x+\sqrt{3-a}-3(1+a-x)}{1+a-x} =0$ x + √(3 - a) - 3(1 + a) + 3x = 0 4x = 3 + 3a - √(3 - a) x = [3 + 3a - √(3 - a)] / 4 По области определения x ∈ (-√(3-a); a + 1) Решаем систему { [3 + 3a - √(3 - a)] / 4 > - √(3 - a) { [3 + 3a - √(3 - a)] / 4 < a + 1 Умножаем на 4 { 3 + 3a - √(3 - a) > -4√(3 - a) { 3 + 3a - √(3 - a) < 4a + 4 Оставляем корень с одной стороны { 3√(3 - a) > -3a - 3 { √(3 - a) > -a - 1 Неравенства получились одинаковые. Так как √(3 - a) > 0, то это неравенство верно при любом a > -1. Но обл. опр. корня: a ≤ 3. Значит, одна часть ответа: a ∈ (-1; 3]

При a ∈ (-oo; -1] возводим всё неравенство в квадрат. 3 - a > a^2 + 2a + 1 a^2 + 3a - 2 < 0 D = 3^2 - 4*1(-2) = 9 + 8 = 17 a1 = (-3 - √17)/2 < -1  ∈ (-oo; -1] a2 = (-3 + √17)/2 ≈ 0,56 > -1 Неравенство выполнено при a ∈ (a1; -1] = ((-3-√17)/2; -1] Ответ: a ∈ ((-3-√17)/2; -1] U (-1; 3] = ((-3-√17)/2; 3]