Question

Найдите все значения а при которых комплексное число Z является корнем уравнения

Answer 1

$z = \frac{ \sqrt{3} + 1}{2} + i\frac{ \sqrt{3} - 1}{2} \\ \\ {z}^{2} = \frac{3 + 2 \sqrt{3} + 1 }{4} + 2 \times \frac{3 - 1}{4} i - \frac{3 - 2 \sqrt{3} + 1 }{4} = \sqrt{3} + i$
${z}^{2} = \sqrt{3} + i = 2 ( \cos\frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} )$
${z}^{6} = ( {z}^{2} ) ^{3} = {2}^{3} ( \cos(3 \times \frac{\pi}{6} ) + i \sin(3 \times \frac{\pi}{6} ) ) = 8(cos \frac{\pi}{2} + isin \frac{\pi}{2} ) = 8i$
$z ^{12} = ({z}^{2} ) ^{6} = 2 ^{6} (cos\pi + isin\pi) = - 64$
${z}^{12} + a {z}^{6} + 48 = 0 \\ - 64 + a \times 8i + 48 = 0 \\ a \times 8i = 16 \\ a = \frac{16}{8i} = \frac{2}{i} = - 2i$

Ответ: -2i