Question

Определить особую точку и её тип

f(z)=(z-1)*(e^((1)/(z-1)))

Answer 1

Особая точка: 1
Так как при единице функция не определена (на 0 делить нельзя)

Теперь определим ее тип:

1) способ

Рассмотрим лево- и право сторонний пределы:

$a) \: lim _{z - > 1 + 0 } (z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = lim _{z - > 1 + 0 } \frac{ {e}^{ \frac{1}{z - 1} } }{ \frac{1}{z - 1} } = \frac{e ^{ \frac{1}{ + 0} } }{ \frac{1}{ + 0} } = ( \frac{ \infty }{ \infty } )$
Можно воспользоваться правилом Лопиталя:

$lim _{z - > 1 + 0 } \frac{ - {e}^{ \frac{1}{z - 1} } \times \frac{1}{(z - 1) ^{2} } }{ - \frac{1}{(z - 1)^{2} } } = lim _{z - > 1 + 0}{e}^{ \frac{1}{z - 1} }= e ^{ \infty } = \infty$
$b) \: lim _{z - > 1 - 0 }(z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = 0 \times e^{ \frac{1}{ - 0} } = 0 \times {e}^{ - \infty } = 0 \times 0 = 0$
Лево- и правосторонний пределы не совпадают, следовательно предела в точке z=1 - не существует, значит
z=1 - существенно особая точка

2 способ)
Разложение в ряд Лорана:

Воспользуемся готовым разложением:

${e}^{x} = 1 + x + \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{ {x}^{3} }{6} + ...$
И применим к данной функции:

$(z - 1) {e}^{ \frac{1}{z - 1} } = (z - 1) \times (1 + \frac{1}{z - 1} + \frac{({ \frac{1}{z - 1})} ^{2} }{2} + \frac{(\frac{1}{z - 1}) ^{3} }{6} + ...) = \\ \\ = (z - 1)(1 + \frac{1}{z - 1} + \frac{1}{2(z - 1 {)}^{2} } + \frac{1}{6(z - 1) ^{3}} + ... ) = \\ \\ =( z - 1) + 1 + \frac{1}{2(z - 1)} + \frac{1}{6(z - 1) ^{2} } + ...$
главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки z=1 содержит бесконечно много отличных от нуля членов, следовательно данная точка является существенно особой.

ОТВЕТ: z=1 - существенно особая точка