Question

Количество общих делителей натуральных чисел a и b равно 5. Сколько общих делителей имеют числа a + 5b и b?

Answer 1

Пусть с1,с2 ..с5- общие делители чисел a и b, тогда:
a= c1*c2*c3*c4*c5*d
b= c1*c2*c3*c4*c5*f
d и f взаимно простые

a+5b=c1*c2*c3*c4*c5*d+5*c1*c2*c3*c4*c5*f=
=c1*c2*c3*c4*c5*(d+5f)

b= c1*c2*c3*c4*c5*f

рассмотрим d+5f и f, т.к они взаимно простые, то по и их линейные комбинации тоже будет взаимно простыми (следствие из т. Безу).

У b и a+5b 5 общих делителей