Question

Решить неравенство log x-2|x-6|<1

Answer 1

$\log_{x-2}|x-6|-1<0$

Используем метод рационализации

$\begin {cases} |x-6|>0\\ x-2>0,\ x-2\neq 1 \\ ((x-2)-1)(|x-6|-x-2)<0 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x>2,\ x \neq 3,\ x \neq 6 \\ (x-3)(|x-6|-x-2)<0 \end {cases}$

Раскроем скобки модуля - получим 2 случая

$1)\ \begin {cases} x<6\\ x>2,\ x \neq 3,\ x \neq 6 \\ (x-3)(-x+6-x-2)<0 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} 2<x<6\\ x \neq 3 \\ (x-3)(x-2)>0 \end {cases} \\ \Rightarrow \begin {cases} x \in (2;3) \cup (3;6) \\ x \in (-\infty;2) \cup (3;+\infty) \end {cases}\ \Rightarrow \boxed {x \in (3;6)}$

$2)\ \begin {cases} x\geq6\\ x>2,\ x \neq 3,\ x \neq 6 \\ (x-3)(x-6-x-2)<0 \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} x>6 \\ -8(x-3)<0 \end {cases} \\ \Leftrightarrow \begin {cases} x>6 \\ x -3>0 \end {cases}\ \Rightarrow x>6 \Rightarrow \boxed {x \in (6; +\infty)}$

Ответ: (3; 6)∪(6; +∞)