Question

Объясните, пожалуйста, как раскрылась эта сумма!) <3

Answer 1

$\Sigma_{k=1}^{n} 2^{-k}k = 2^{-n}\Sigma_{k=1}^{n} 2^{n-k}\Sigma_{i=1}^{k}1 = 2^{-n}\Sigma_{1\leq i \leq k \leq n}2^{n-k} = 2^{-n}\Sigma_{i=1}^{n}\Sigma_{k=i}^{n}2^{n-k} = 2^{-n}\Sigma_{i=1}^{n}\Sigma_{j=0}^{n-i}2^{j} = 2^{-n}\Sigma_{i=1}^{n}(2^{n-i+1} - 1) = 2^{-n}(-n + \Sigma_{m=1}^{n}2^m) = 2^{-n}(-n + 2^{n+1} - 2)$