Question

Найдите ac,если
a=(1^2+2^2+3^2+....+16^2-16)/(1×3+2×4+3×5+....+15×17. и
c=(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/4)×(1-1/5)×(1+1/5)×(1+1/4)×(1+1/3)×(1+1/2).
Помогите пожалуйста,кто сможет

Answer 1

Пусть n – произвольное натуральное число. Тогда справедливы следующие формулы, которые называют конечными числовыми суммами:

$\bigodot~~~1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\\bigodot~~~1\cdot 3+2\cdot4+3\cdot5+...+n(n+2)=\dfrac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

Эти формулы доказываются непосредственно методом математической индукции(если интересно в интернете полно).

$1^2+2^2+3^2+...+16^2-16=\dfrac{16\cdot(16+1)\cdot(2\cdot16+1)}{6}-16 =1480$

$1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot5+...+15\cdot17=\dfrac{15\cdot(15+1)\cdot(2\cdot15+7)}{6} =1480$

То есть, получаем что $a=\dfrac{1^2+2^2+3^2+...+16^2-16}{1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+...+15\cdot17} =\dfrac{1480}{1480}=1$

$c=\displaystyle \bigg(1-\frac{1}{2}\bigg) \bigg(1-\frac{1}{3}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{4}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{5}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{5}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{4}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{3}\bigg)\cdot\\ \\ \cdot\bigg(1+\frac{1}{2}\bigg)=\bigg(1-\frac{1}{2^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{3^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{4^2}\bigg)\bigg(1-\frac{1}{5^2}\bigg)=\\ \\ =\frac{(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)(5^2-1)}{2^2\cdot3^2\cdot4^2\cdot5^2} =\frac{3\cdot8\cdot15\cdot24}{4\cdot9\cdot16\cdot25} =\frac{3}{5}$

Окончательно получим: $ac=1\cdot \frac{3}{5} =\frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$.