Question

решить, пожалуйста, иррациональное уравнения
$\sqrt[3]{x-4}+\sqrt[2]{x+1}=1$

Answer 1

Оба корня - всюду возрастающие функции .
Их сумма тоже всюду возрастающая функция.
Значение равное единице - эта сумма может принимать только в одной точке.
x=3 - очевидный единственный корень.

Answer 2

$\sqrt[3]{x-4}+\sqrt[]{x+1}=1$

Область определения уравнения:

$x+1\geq 0$

$x\geq -1$

$x$ ∈ $[-1;+$ ∞ $)$

Введём замену:

$\sqrt[3]{x-4} =a$

$\sqrt{x+1} =b,$    $b\geq 0$, тогда исходное уравнение примет вид:

$a+b=1$.

Поскольку $a^3=x-4;$    $b^2=x+1,$ то, вычтем почленно $a^3$ и $b^2:$

$a^3-b^2=x-4-(x+1)=x-4-x-1=-5$

Имеем:

$\left \{ {{a+b=1} \atop {a^3-b^2=-5\atop{b\geq0}} \right.$

$\left \{ {{b=1-a} \atop {a^3-(1-a)^2=-5\atop{b\geq0}} \right.$

$\left \{ {{b=1-a} \atop {a^3-1-a^2+2a+5=0\atop{b\geq0}} \right.$

$\left \{ {{b=1-a} \atop {a^3-a^2+2a+4=0\atop{b\geq0}} \right.$

Решим отдельно второе уравнение системы:

$a^3-a^2+2a+4=0$

$(a+1)(a^2-2a+4)=0$

$a+1=0$      или      $a^2-2a+4=0$

$a=-1$      или      $D=(-2)^2-4*1*4<0$ ∅

$\left \{ {{a=-1} \atop {b=2\atop{b\geq0}} \right.$

Так как $x=b^2-1,$ найдем решение исходного уравнения:

$x=2^2-1=3$

Ответ: $3$