Question

Существует ли прямоугольный треугольник с гипотенузой
25\4 c и высотой к гипотенузе h=число пи ?

Answer 1

ДАНО: ∆ АВС ( угол АВС = 90° ) ; ВD = π ≈ 3,14 ; AC = 25/4

ДОКАЗАТЬ: ∆ АВС существует или не существует

_____________________________

РЕШЕНИЕ:

1) Пусть катеты АВ = х ; ВС = у , тогда

S abc = 1/2 × x × y

S abc = 1/2 × 25/4 × 3,14 =

1/2 × x × y = 1/2 × 25/4 × 3,14

$x \times y = \frac{25}{4} \times \frac{314}{100} = \frac{314}{16} = \frac{157}{8}$

2) По теореме Пифагора:

${x}^{2} + {y}^{2} = {( \frac{25}{4} )}^{2} \\ \\ {x}^{2} + {y}^{2} = \frac{625}{16}$

Составим систему:

${x}^{2} + {y}^{2} = \frac{625}{16} \\ x \times y = \frac{157}{8} \\ \\ \\ {x}^{2} + {y}^{2} = \frac{625}{16} \\ x = \frac{157}{8y}$

Подставляем в первое уравнение:

${( \frac{157}{8y}) }^{2} + {y}^{2} = \frac{625}{16} \\ \\ \frac{24649}{64 {y}^{2} } + {y}^{2} = \frac{625}{16}$

Домножим на у² обе части:

${y}^{4} - \frac{625}{16} {y}^{2} + \frac{24649}{64} = 0$

Сделаем замену: Пусть у² = t , t > 0

${t}^{2} - \frac{625}{16} t + \frac{24649}{64} = 0$

D =
$= {( - \frac{625}{16} )}^{2} - 4 \times \frac{24649}{64} = \frac{390625}{256} - \frac{24649}{16} = \\ \\ = \frac{390625 - 16 \times 24649}{256} = \frac{390625 - 394384}{256} = - \frac{3759}{256}$

Дискриминант меньше нуля. Это значит, что решений нет

Из этого следует, что такой прямоугольный треугольник НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

ОТВЕТ: не существует.