Question

Пользуясь определением установить, существует ли производная функции f(x) в точке x = 0, если:
Пожалуйста помогите со всеми пунктами (смотри картинку).

Answer 1

производная по определению:

$f(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} ,$ где

$\Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)$

необходимое и достаточное условие существование производной:

$f'(x_0-0)=f'(x_0+0)$ , то есть

$\lim_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

$a) f(x)=|x^3| \\ \Delta y=|(x+\Delta x)^3|-|x^3|$

нужно определить, существует ли производная в точке x=0, поэтому подставляем вместо х нуль:

$\Delta y=|(0+\Delta x)^3|-|0^3|=|(\Delta x)^3|$

Напомню, что когда под модулем стоит положительное число, то знак модуля просто убирается,

а если отрицательное, то знак модуля также убирается, но впереди ставится знак минус!

Левосторонний предел:

$f'(x_0-0)= \lim_{\Delta x \to -0} \ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to -0} \ \frac{|(\Delta x )^3|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to -0} \ \frac{-(\Delta x)^3}{\Delta x} \\ \\ =\lim_{\Delta x \to -0} \ -(\Delta x)^2=\lim_{\Delta x \to -0} \ -(-0)^2=0$

Аналогично для правостороннего:

$f'(x_0+0)= \lim_{\Delta x \to+0} \ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to +0} \ \frac{|(\Delta x )^3|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to +0} \ \frac{(\Delta x)^3}{\Delta x} \\ \\ =\lim_{\Delta x \to +0} \ (\Delta x)^2=\lim_{\Delta x \to +0} \ (+0)^2=0$

f'(x_0-0)=f'(x_0+0) ⇒ производная существует в точке х=0

б)

$\Delta y=|x+\Delta x|+x+\Delta x - (|x|+x)=|0+\Delta x|+0+\Delta x - (|0|+0)= \\ \\ =|\Delta x| +\Delta x \\ \\ 1) \lim_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to -0} \frac{|\Delta x| +\Delta x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to -0} \frac{-\Delta x +\Delta x}{\Delta x} =0\\ \\ 2)\lim_{\Delta x \to +0} \frac{|\Delta x| +\Delta x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta x +\Delta x}{\Delta x} =2$

f'(x_0-0)≠f'(x_0+0) ⇒ производная не существует в точке х=0

в)

$\Delta y=sin(\frac{1}{x+\Delta x} )-sin(\frac{1}{ x} )=sin(\frac{1}{\Delta x})-sin(\infty)\\ \\ 1) \lim_{\Delta x \to -0} \frac{sin(\frac{1}{\Delta x})-sin(\infty)}{\Delta x} =\frac{sin(\infty)-sin(\infty)}{0}$

Предела не существует ⇒ производной нет

г)

$\Delta y=(x+\Delta x)sin(\frac{1}{x+\Delta x} )-xsin(\frac{1}{ x} )=\Delta x*sin(\frac{1}{\Delta x})\\ \\ 1) \lim_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta x*sin(\frac{1}{\Delta x})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to -0} sin(\frac{1}{\Delta x})=sin(-\infty)$

Предела не существует ⇒ производной нет

д)

$\Delta y=(x+\Delta x)^2sin(\frac{1}{x+\Delta x} )-x^2sin(\frac{1}{ x} )=\Delta x^2*sin(\frac{1}{\Delta x})\\ \\ 1) \lim_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta x^2*sin(\frac{1}{\Delta x})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to -0}\Delta x* sin(\frac{1}{\Delta x})=0\\ \\ 2) \ \lim_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta x^2*sin(\frac{1}{\Delta x})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to +0}\Delta x* sin(\frac{1}{\Delta x})=0$

Так как функция кусочно-заданная, то проверим будет ли она непрерывна в точке х=0

 $A=\lim_{x \to-0} x^2*sin \frac{1}{x} =0*sin(-\infty)=0 \\ \\ B=\lim_{x \to+0} x^2*sin \frac{1}{x} =0*sin(\infty)=0 \\ \\ f(0)=0$

A=B=f(0)=0 ⇒ функция не прерывна 

f'(x_0-0)=f'(x_0+0) ⇒ производная существует в точке х=0