Question

Помогите доказать тождество

Answer 1

Разделим первое равенство последовательно на (b - c), (c - a) и (a - b) и сложим результаты:

$0=\boxed{\dfrac a{(b-c)^2}+\dfrac b{(c-a)^2}+\dfrac c{(a-b)^2}}+\dfrac a{b-c}\left(\dfrac1{c-a}+\dfrac1{a-b}\right)+\\+\dfrac b{c-a}\left(\dfrac1{b-c}+\dfrac1{a-b}\right)+\dfrac c{a-b}\left(\dfrac1{b-c}+\dfrac1{c-a}\right)$

Упростим то, что стоит вне рамки:

$\dfrac a{b-c}\left(\dfrac1{c-a}+\dfrac1{a-b}\right)+\dfrac b{c-a}\left(\dfrac1{b-c}+\dfrac1{a-b}\right)+\dfrac c{a-b}\left(\dfrac1{b-c}+\right.\\\left.+\dfrac1{c-a}\right)=-\dfrac a{(c-a)(a-b)}-\dfrac b{(b-c)(a-b)}-\dfrac c{(b-c)(c-a)}=\\=-\dfrac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0$

Значит,

$0=\dfrac a{(b-c)^2}+\dfrac b{(c-a)^2}+\dfrac c{(a-b)^2}+0\\ \dfrac a{(b-c)^2}+\dfrac b{(c-a)^2}+\dfrac c{(a-b)^2}=0$