Question

Написать три первых члена ряда. Найти интервал сходимости и исследовать ряд на сходимость на концах интервала.

Answer 1

Три первых члена ряда: $x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3} +....$

Найдем радиус сходимости по формуле Даламбера

$R=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} =1$

Ряд является абсолютно сходящимся при всех х, принадлежащих интервалу (-1;1).

Теперь исследуем сходимость ряда на концах этого интервала.

$x=-1;~~~ \Rightarrow \displaystyle~~ \sum ^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{n}$ - является сходящимся по признаку Лейбница.

Если х=1, то $\sum ^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}$ - гармонический ряд является расходящимся

Вывод: данный степенной ряд является сходящимся при $x \in [-1;1).$