Question

При каких значениях параметра а уравнение имеет два разных действительных корня?

Answer 1

Ошибка в решении, см. ниже

Answer 2

Пусть $x^2=t$ при этом t>0. Получим

$t^2-(2a+1)t+a^2-1=0$ (*)

Чтобы корни существовали необходимо чтоб дискриминант квадратного уравнения > 0

$D=(2a+1)^2-4(a^2-1)=4a^2+4a+1-4a^2+4=4a+5>0\\ a>-1.25$

То есть, при a>-1.25 квадратное уравнение (*) имеет два различных корня, а именно два положительных или два отрицательных или один положительный и один отрицательный. Нам подходит один положительный и один отрицательный, ведь, возвращаясь к обратной замене, x^2=t если t>0 то уравнение примет два различных корня,а если t<0 то уравнение решений не имеет.

Из теоремы Виета: $t_1t_2=a^2-1<0$ откуда $-1<a<1$

Общее решение неравенств $\displaystyle \left \{ {{-1<a<1} \atop {a>-1.25}} \right. ~~\Rightarrow~~~ -1<a<1$

Проверим теперь D=0 (имеет единственный корень) т.е. 4a+5=0 откуда а=-1,25 и подставляем в уравнение (*), получим:

$16t^2+24t+9=0\\ (t+\frac{3}{4} )^2=0\\ t=-\frac{3}{4}$

Корень t=-3/4<0 не подходит

Если a=1, то уравнение имеет два корня: x=0 и x=3
Если a = -1, то уравнение имеет два корня: x=-1 и x=0

Ответ: $a \in [-1;1].$