Question

Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫
D
5y^2cos (xy/2)dxdy, если область D ограничена линиями D:x=0, y=4, y=x/5

Answer 1

Интегрируем функцию $5y^2\cos\frac{xy}{2}$ на множестве, заданном неравенствами $\displaystyle \left \{ {{0\leq y\leq 4} \atop {0\leq x\leq 5y}} \right.$

$\displaystyle \int \int _D5y^2\cos\frac{xy}{2} dxdy=\int\limits^4_0 {dy} \int\limits^{5y}_0 {5y^2\cos\frac{xy}{2} } \, dx =\\ \\ \\ =\int\limits^4_0 {\bigg[10y\sin\frac{xy}{2} \bigg]\bigg|^{5y}_0} \, dy=\int\limits^4_0 {10y\sin\frac{5y^2}{2} } \, dy=\int\limits^4_0 {2\sin\frac{5y^2}{2} } \, d\bigg(\frac{5y^2}{2} \bigg)=\\ \\ =-2\cos\frac{5y^2}{2} \bigg|^4_0=-(-2)-2\cos 40=2-2\cos40$