Question

Окружность радиуса 3 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания.этот отрезок делится высотой треугольника проведенной к основанию, в отношении 6:5, считая от вершины. найдите площадь треугольника

Answer 1

AB=BC, E - точка касания на AB, CD:DE=6:5, O - центр окружности 

Окружость вписана в угол B, следовательно её центр лежит на биссектрисе этого угла. В равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию является высотой и медианой, BO⊥AC, AO=CO.

Опустим перпендикуляр EF на AC.

EF || DO => CO:OF=6:5 (по теореме Фалеса)

AO:OF=6:5

AO=6x, OF=5x => AF=x

Высота из прямого угла равна среднему пропорциональному проекций катетов на гипотенузу.

EF=√(AF*OF) =x√5

Высота из прямого угла делит треугольник на подобные друг другу и исходному.

△EOF~△AOE, △AOE~△ABO => △ABO~△EOF, k=AO/EF =6/√5 =1,2√5

AB=EO*k =1,2√5 EO

S(ABC)= 2S(ABO) =AB*EO =1,2√5 EO^2 =10,8√5  ~24,15