Question

При каких значениях k все решения системы удовлетворяют условиям x > 1, y < 0
$\begin{cases} x-ky=3,\\ kx-9y=9. \end{cases}$

Answer 1

Из первого уравнения выразим переменную х: $x=3+ky$ и подставляем во второе уравнение, получим:

$k(3+ky)-9y=9\\ 3k+k^2y-9y=9\\ y(k-3)(k+3)+3(k-3)=0\\ (k-3)(y(k+3)+3)=0$

$k=3$ - если подставить в систему уравнений то ее пара решений - (3;0), что видим 0 < 0 не может быть.

$y(k+3)+3=0\\ y=-\dfrac{3}{k+3} <0~~~\Rightarrow~~ k>-3$

Найденное у подставим в х, получим:

$x=3-\dfrac{3k}{k+3} =\dfrac{3k+9-3k}{k+3} =\dfrac{9}{k+3} >1\\ \\ \dfrac{9}{k+3} -1>0~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{6-k}{k+3}>0 \\ \dfrac{6-k}{k+3}=0;~~\Rightarrow~~~ 6-k=0;~~\Rightarrow~~~ k=6$

____-___(-3)____+____(6)____-____ - решение: -3 < k < 6

Пересечением этих двух неравенств является решение -3 < k < 6 и с учетом того, что при k=3 условие не выполняется, то при $k \in (-3;3)\cup(3;6)$ решения системы уравнений удовлетворяют условиям x>1 и y<0.

Ответ: x ∈ (-3;3)∪(3;6).