Question

Как решить:
Дана система уравнений:
$P_x + Q_y = 21_{10}$
$R_{x}$  – $T_{y}$ = $2_{10}$
В ней x и y – различные целочисленные основания систем счисления, большие 1 и не превосходящие 16. Про записи чисел P, Q, R, T известно следующее:
1) В них встречаются только цифры 1 и 2.
2) Все записи состоят из двух цифр.
3) Записи P и T совпадают.
4) Запись P является обратной записью R.
5) Запись Q состоит из одинаковых цифр.
Необходимо найти значения чисел x и y, решение обосновать.

Answer 1

Из 2) следует, что Px можно записать как ax+b.

Из 3) следует, что Ty записывается как ay+b.

Из 4) следует, что Rx записывется как bx+a.

Из 5) следует, что Qy записывается как cy+c

Тогда система уравнений приобретает вид

ax+b+cy+c=21

bx+a-ay-b=2

или

ax+cy=21-b-c

bx-ay=2-a+b

По правилу Крамера можно записать

Δ = -(a²+bc); Δx = -(21a-ab-2ac+2c+bc); Δy = -(a²-2a-ab+21b-b²-bc);

x = Δx/Δ; y = Δy/Δ

Известно также, что 1) a,b,c равны 1 или 2, а x,y - целые из интервала [3;16], как основания систем счисления.

Пусть a=1, тогда:

Δ = -(1+bc); Δx = -(21-b-2c+2c+bc) = -(21-b+bc);

При b=1 получаем x = (21-1+c)/(1+c) = (c+20)/(c+1), что не может быть целым числом.

При b=2 получаем x = (21-2+2c)/(1+2c) = (2c+19)/(2c+1).

При с=1 получим x = 21/3 = 7, при с=2 получим x = 23/5 - нецелое.

Найдена одна тройка-кандидат: a=1, b=2, c=1, дающая x=7.

Проверим случай a=2.

Δ = -(4+bc); Δx = -(42-3b-2c+bc)

При b=1 получаем x = (40-c)/(4+c).

Для с=1 x=39/5 - нецелое, для c=2 x=38/6 - нецелое.

При b=2 получаем x = 19/(c+2), но 19 - простое число, поэтому b=2 не подходит.

Остается найти y для случая a=1, b=2, c=1.

y = Δy/Δ = (1-2-2+42-4-2)/(1+2) = 33/3 = 11.

Ответ: P₇ = 12, T₁₁ = 12, R₇ = 21, Q₁₁ = 11

Answer 2

Обозначим цифры, которыми записаны числа P, Q, R и T a, b, c.

P(x) = a*x+b

Q(y) = c*y+c

R(x) = b*x+a

T(y) = a*y+b

a*x+b+c*y+c = 21

b*x+a-a*y-b = 2

Пусть a=1, b=1, c=1

x+1+y+1 = 21, x+y = 19

x+1-y-1 = 2, x-y = 2

x = y+2, y+2+y = 19, 2*y = 17 - не подходит

Пусть a=2, b=1, c=1

2*x+1+y+1 = 21, 2*x+y = 19

x+2-2*y-1 = 2, x-2*y = 1

x = 2*y+1, 2*(2*y+1)+y = 19, 5*y = 17 - не подходит

Пусть a=1, b=2, c=1

x+2+y+1 = 21, x+y = 18

2*x+1-y-2 = 2, 2*x-y = 3

y = 2*x-3, x+2*x-3 = 18, 3*x = 21

x = 7, y = 11

P(7) = 12(7) = 7+2 = 9(10)

Q(11) = 1*11+1 = 12(10)

9(10)+12(10) = 21(10)

R(7) = 2*7+1 = 15(10)

T(11) = 1*11+2 = 13(10)

15(10)-13(10) = 2(10)

Ответ: x=7, y=11