Question

Найдите все значения параметра а, при котором уравнение $cos^{2}x-(2a+3)cosx=0$ имеет на отрезке [0; 2,5$\pi$] только три различных корня.

Answer 1

$cos^2x-(2a+3)cosx=0\\ cosx(cosx-2a-3)=0\\ \\ cosx=0\\ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k; \ k\in Z$

что уже дает три корня на заданном отрезке (π/2, 3π/2, 5π/2)

Значит уравнение

$cosx=2a+3$

не должно иметь корней на промежутке [0; 2,5π]

Рассмотрим 3 случая

1)

Допустим, уравнение cosx=2a+3 не имеет решение вообще. Такое произойдет при

$-1>2a+3>1\\ -4>2a>-2\\ -2>a>-1$

так как cosx∈[-1; 1]

2)

Корни имеет, но не имеет решение именно на промежутке [0; 2,5π]. Такой вариант невозможен в связи с периодом функции 2π.

3)

Корни уравнения cosx=2a+3 совпадают с корнями уравнения cosx=0

2a+3=0

a=-1,5

Ответ: a∈(-∞; -2)U[-1,5]U(-1; +∞)