Question

Решите уравнение $2x+|ax-4|=0$ при всех значениях параметра a.

Answer 1

$2x+|ax-4|=0\\ |ax-4|=-2x$

При условии, что правая часть $x\leq 0$ , возведем обе части уравнения в квадрат, получим

$(ax-4)^2=4x^2\\ (ax-4)^2-4x^2=0\\ (ax-4-2x)(ax-4+2x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x(a-2)-4=0~~~\Rightarrow~~~ x=\frac{4}{a-2} \\ x(a+2)-4=0~~~\Rightarrow~~~ x=\frac{4}{a+2}$

При этом нужно удостоверится, что эти корни будут принадлежать условию x≤0, то есть, нужно решить следующие неравенства:

$\frac{4}{a-2} \leq 0$ - зависит от знаменателя, то есть $a-2<0$ откуда $a<2$

$\frac{4}{a+2} \leq 0$ также зависит от знаменателя, т.е. $a+2<0$ откуда $a<-2$

При $a \in (-\infty;-2)$ уравнение имеет два корня $x=\frac{4}{a\pm 2}$

При $a \in (-2;2)$ уравнение имеет одно решение $x=\frac{4}{a-2}$

При $a \in[2;+\infty)$ уравнение действительных корня не имеет

При $a=-2$ уравнение имеет единственный корень $x=-1$