Question

попробуйте решить эту задачу

Answer 1

Преобразуем:

$\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{n+k}= \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\cdot\frac{1}{n}$

Видим, что это выражение является интегральной суммой функции $f(x)=\frac{1}{1+x}$ на отрезке [0;1] (отрезок поделили на n одинаковых отрезков; их длины равны 1/n. На k-ом отрезке выбираем в качестве точки правый конец, то есть точку k/n). Поскольку функция непрерывна на этом отрезке, она интегрируема на нем, и интеграл равен пределу интегральных сумм, когда диаметр разбиения, то есть длина самого длинного отрезка стремится к нулю. У нас все длины равны 1/n, поэтому

$\lim\limits_{n\to \infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{n+k}= \int\limits_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln|1+x|\ |_0^1=\ln(1+1)-\ln(1+0)=\ln 2$

Ответ: $\ln 2$