Question

Будет ли метрикой на R
p(x,y)=sqrt(|x-y|)

Answer 1

Будет метрикой, если выполняются все три следующие аксиомы:

$1.~\rho(x,y)=0~~~\LeftRightarrow~~ x=y$ - аксиома тождества

$2.~\rho(x,y)=\rho(y,x)$ - аксиома симметрии

$3.~\rho(x,z)\leq \rho(x,y)+\rho(y,z)$ - аксиома треугольника

$1.~ \rho(x,y)=0~~\Rightarrow~~ \sqrt{|x-y|} =0~\Rightarrow~ |x-y|=0~~\Rightarrow~~ x-y=0~~\Rightarrow ~x=y$

В обратном

$x=y~\Rightarrow~~ x-y=0~\Rightarrow~~|x-y|=0~~\Rightarrow~~\sqrt{|x-y|}=0~~\Rightarrow~~ \rho(x,y)=0$

2. $\rho(x,y)=\sqrt{|x-y|} =\sqrt{|y-1|} =\rho(y,x)$

3. $\forall x,y,z~ ~\rho(x,y)=\sqrt{|x-y|}=\sqrt{|x-z+z-y|}=\sqrt{|x-z|+|z-y|}\leq\\ \\ \leq \rho(x,z)+\rho(z,y)$

Последнее неравенство можно показать возведением в квадрат