Question

Как решать уравнения типа cosx=sin17x? Изначальное cos9x-cos8x+sinx=0, может стоит его привести к другому виду

Answer 1

Сложно будет расписывать 17х как сумму 8х+9х. Здесь в правой части уравнения можно воспользоваться формулами приведения, а именно:

                                            $\sin17x=\cos(\frac{\pi}{2} -17x)$

Дальше переносим в левую часть и нужно использовать переход из разности косинусов к произведению синусов,т.е.

                                       $\cos x-\cos(\frac{\pi}{2} -17x)=0\\ -2\sin\frac{x+\frac{\pi}{2} -17x}{2} \sin\frac{x-\frac{\pi}{2} +17x}{2} =0\\ 2\sin(8x-\frac{\pi}{4} )\sin(9x-\frac{\pi}{4})=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается нуль, то есть имеем

               $\left[\begin{array}{ccc}\sin(8x-\frac{\pi}{4} )=0\\ \sin(9x-\frac{\pi}{4} )=0\end{array}\right~~\Rightarrow~\left[\begin{array}{ccc}8x-\frac{\pi}{4} =\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ 9x-\frac{\pi}{4} =\pi k,k \in \mathbb{Z}\\\end{array}\right ~~~\Rightarrow~~~\\ \\ ~~~~~~~~~~\Rightarrow~~~ \left[\begin{array}{ccc}x=\frac{\pi}{32}+\frac{\pi k}{8},k \in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi}{36}+\frac{\pi k}{9},k \in \mathbb{Z}\end{array}\right$

Answer 2

$(cos9x-cos8x)+sinx=0\\\\-2\cdot sin\frac{17x}{2}\cdot sin\frac{x}{2}+2\cdot sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}=0\\\\-2\cdot sin\frac{x}{2}\cdot (sin \frac{17x}{2}-cos\frac{x}{2})=0\\\\a)\; \; sin\frac{x}{2}=0\; ,\; \; \frac{x}{2}=\pi n,\; \; x=2\pi n,\; n\in Z\\\\b)\; \; sin\frac{17x}{2}-cos\frac{x}{2}=0\\\\sin\frac{17x}{2}-sin(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2})=0\\\\2\cdot sin(\frac{17x}{4}-\frac{\pi}{4}+\frac{x}{4})\cdot cos(\frac{17x}{4}+\frac{\pi }{4}-\frac{x}{4})=0\\\\sin(\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4})\cdot cos(4x+\frac{\pi}{4})=0$

$sin(\frac{9x}{2}-\frac{\pi }{4})=0\\\\\frac{9x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi k\; ,\; \; \frac{9x}{4}=\frac{\pi }{4}+\pi k\; ,\; \; x=\frac{\pi }{9}+\frac{4\pi k}{9}\, ,\; k\in Z\\\\cos(4x+\frac{\pi}{4})=0\\\\4x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi }{2}+\pi m\; ,\; \; 4x=\frac{\pi }{4}+\pi m\; ,\; \; x=\frac{\pi }{16}+\frac{\pi m}{4}\; ,\; m\in Z\\\\Otvet:\; \; x=2\pi n,\; n\in Z\; ;\; \; x=\frac{\pi }{9}+\frac{4\pi k}{9}\; ,\; k\in Z\; ;\\\\x=\frac{\pi }{16}+\frac{\pi m}{4}\; ,\; m\in Z$