Question

сможете решить?!

$\int\limits^1_0 {x\sqrt{1+xdx }}$

Answer 1

Это подстановка Чебышева. (Дополнительно о подстановке смотрите на фото в приложении).

Перепишем наш интеграл применив свойства степени.

$\displaystyle\int\limits^1_0 {x(x+1)^{0.5}} \, dx$

Очевидно, что нам подходит 2) ведь $\frac{m+1}{n}=\frac{1+1}{1}=2\in\mathbb{Z}$. Значит будем использовать замену $x+1=t^2$ и тогда, дифференцируя: $dx=2tdt$, получим

$\displaystyle \int\limits^{1}_0 x\sqrt{1+x}dx=-\int\limits^{\sqrt{2}}_1 (1-t^2)t\cdot 2tdt =\int\limits^{\sqrt{2}}_1(2t^4-2t^2)dt=\bigg(\frac{2t^5}{5}-\frac{2t^3}{3}\bigg)\bigg|^{\sqrt{2}}_1=\\ \\ =2t^3\bigg(\frac{t^2}{5}-\frac{1}{3} \bigg)\bigg|^{\sqrt{2}}_1=4\sqrt{2}\bigg(\frac{2}{5} -\frac{1}{3} \bigg)-2\bigg(\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\bigg) =\frac{4(\sqrt{2}+1)}{15}$