Question

Знайдіть найбільше значення функції y=-2x^2+8x-5

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение функции y(2) = 3.

Пошаговое объяснение:

1 вариант решения.

• График квадратичной функции вида y=ax^2+bx+c - парабола.

В нашей функции коэффициент а<0, тогда ветки параболы направлены вниз, вершина параболы - её максимум.

Формулы:

• $\displaystyle \boxed{x_v=-\frac{b}{2a} \ ;\ y_v=-\frac{b^2-4ac}{4a} }$

Подставляем наши значения и находим координаты вершины параболы:

$\displaystyle x_v=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=-\frac{8}{(-2)}=2 \\\\ y_v=-\frac{8^2-4\cdot(-2)\cdot(-5)}{4\cdot (-2)} =-\frac{64 -40}{(-8)} =-\frac{24}{-8}=3$

Точка (2;3) - вершина параболы. Соответственно, наибольшее значение функции у(2)=3.

2 вариант решения.

Область определения функции:

х ∈ (-∞; +∞)

Производная функции:

y'=(-2x²+8x-5)' = (-2)*2x²⁻¹ + 8*1 - 0 =(-4x)+8

Критические точки функции:

(-4х)+8 = 0

(-4х) = -8

Делим обе части уравнения на (-4).

(-4х) = -8 | :(-4)

х = 2 - единственная крит. точка.

Разбиваем крит. точкой координатную прямую на промежутки:

$\LARGE \boldsymbol {} +++++[2]-----$

При переходе через точку х=2 производная функции меняет знак с + на -, поэтому точка х=2 - точка максимума функции.

Находим значение ф-ции в её точке максимума:

$y_{max} = y(x_{max}) = y(2)= -2\cdot2^2+8\cdot2-5 = -2\cdot 4 +16 -5= 8-5=3$

y(max) = y(2) = 3

#SPJ5