Question

Решите неравенство: 3x^2+7x-20≥0 двумя способами: а) используя свойства графика функции: y=3x^2+7x-20; б) разложив трёхчлен 3x^2+7x-20 на линейные множители и используя условие, при котором полученное произведение положительно.

Answer 1

$3x^2+7x-20\geq 0$

а)

Рассмотрим график функции

$y=3x^2+7x-20$

это парабола, a>0 ⇒ ветви вверх

Нули функции:

$3x^2+7x-20=0\\ D=49+240=289=17^2\\ x=\dfrac{-7 \pm 17}{6} =\left[\begin{array}{I} -4 \\ \dfrac{5}{3} \end{array}}$

значит функция принимает значения ≥0 при

$x \in (- \infty; \ -4] \cup [ \dfrac{5}{3}; \ + \infty)$

Ответ: x∈(-∞; -4]U[5/3; +∞)

б)

$3x^2+7x-20\geq 0\\ 3x^2+12x-5x-20\geq 0\\ 3x(x+4)-5(x+4)\geq 0\\ (3x-5)(x+4)\geq 0$

$\left[\begin{array}{I} \left\{\begin{array}{I} 3x-5\geq 0 \\ x+4\geq 0\end{array}} \\ \left\{\begin{array}{I} 3x-5\leq 0\\ x+4\leq0 \end{array}} \end{array}} \ \Leftrightarrow \ \left[\begin{array}{I} \left\{\begin{array}{I} x\geq \dfrac{5}{3}\\ x\geq -4\end{array}} \\ \left\{\begin{array}{I} x\leq\dfrac{5}{3}\\ x\leq-4 \end{array}} \end{array}} \ \Leftrightarrow \ \left[\begin{array}{I} x \geq\dfrac{5}{3} \\ x\leq -4\end{array}}$

Ответ: x∈(-∞; -4]U[5/3; +∞)