Question

сколько целых чисел удовлетворяют неравенству x²-|5x-3|< x+2

Answer 1

Перепишем неравенство в виде

$x^2 - x - 2 < |5x - 3|$.

Если левая часть неравенства отрицательная, то неравенство выполнено: модуль числа – неотрицательная величина – больше любого отрицательного числа.

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) < 0\\ -1 < x < 2$

Если левая часть неравенства неотрицательная (так будет при x ≤ -1 или x ≥ 2), то обе части неравенства неотрицательные, можно перейти к равносильному неравенству, возведя левую и правую часть в квадрат. Используя факт, что квадрат модуля числа равен квадрату самого числа, и раскладывая разность квадратов, получаем:

$(x^2 - x - 2)^2 < |5x - 3|^2\\ (x^2 - x - 2)^2 - (5x - 3)^2 < 0\\ (x^2 - x - 2 + 5x - 3)(x^2 - x - 2 - 5x + 3) < 0\\ (x^2 + 4x - 5)(x^2 - 6x + 9 - 8) < 0\\ (x + 5)(x - 1)((x - 3)^2 - (2\sqrt2)^2) < 0\\ (x + 5)(x - 1)(x - (3 - 2\sqrt2))(x - (3 + 2\sqrt2)) < 0$

Последнее неравенство легко решить методом интервалов, получим

$x\in(-5;3-2\sqrt2)\cup(1;3+2\sqrt2)$

К этому ответу необходимо добавить промежуток (-1; 2), найденный ранее. Окончательный ответ: $x\in(-5;3+2\sqrt{2})$

Целые решения неравенства: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 – всего 10 целых решений