Question

Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,9. Определите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий будут от 500 до 550 первого сорта. Определите наивероятнейшее число и вероятность наивероятнейшего числа изделий первого сорта.

Answer 1

Число $k$ является наивероятнейшим, если выполняется следующее неравенство

$np-q \leq k \leq np+p\\ \\ 600\cdot 0.9-0.1 \leq k \leq 600\cdot 0.9+0.9\\ \\ 539.9 \leq k \leq 540.9$

Число $k$ может принимать или единственное значение или два наивероятнейших значения, т.е. в нашем случае будет единственное значение $k=540$

Тогда вероятность наивероятнейшего числа изделий первого сорта по локальной теореме Муавра-Лапласа, равна

$P_{600}(540)= \dfrac{1}{ \sqrt{600\cdot 0.9\cdot 0.1} } \cdot \phi\bigg( \dfrac{540-600\cdot 0.9}{ \sqrt{600\cdot 0.9\cdot 0.1} } \bigg)= \dfrac{\phi(0)}{3 \sqrt{6} } = \dfrac{0.399}{3 \sqrt{6} } \approx0.054$

Определим вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий будут от 500 до 550 первого сорта.

$P_{600}(500 \leq k \leq 550)\approx\phi\displaystyle \bigg( \frac{550-600\cdot 0.9}{ \sqrt{600\cdot 0.9\cdot 0.1} } \bigg)-\phi \bigg( \frac{500-600\cdot 0.9}{ \sqrt{600\cdot 0.9\cdot 0.1} } \bigg)=\\ \\ = \phi(1.36)-\phi(5.44)=0.415+0.4999=0.9147$