Question

Найти значение выражения:
3sina+6cosa/3sina+cosa, если ctg a/2 = 2

Answer 1

$\displaystyle \frac{3\sin \alpha+6\cos \alpha}{3\sin \alpha+\cos \alpha}=\frac{3(\sin \alpha+2\cos \alpha)}{3\sin \alpha+\cos \alpha}=\\ =\frac{3(2\sin \frac{ \alpha}{2}\cos\frac{ \alpha}{2}+2\cos^2\frac{ \alpha}{2}-2\sin^2\frac{ \alpha}{2})}{3\sin\frac{ \alpha}{2}\cos\frac{ \alpha}{2}+\cos^2\frac{ \alpha}{2}-\sin^2\frac{ \alpha}{2}}=\frac{3(2\mathrm{ctg}\frac{ \alpha}{2}+2\mathrm{ctg}^2\frac{ \alpha}{2}-2)}{3\mathrm{ctg}\frac{ \alpha}{2}+\mathrm{ctg}^2\frac{ \alpha}{2}-1} =$

$=\displaystyle\frac{3\cdot(2\cdot2+2\cdot 2^2-2)}{3\cdot2+2^2-1}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$