Question

Найти все решения уравнения
(2|x|-1)²=|x| , принадлежащие области определения функции y=lg(4x-1)
Помогите решить , со всеми подробностями

Answer 1

(2|x|-1)²=|x|

4|x|²-4|x|+1=|x|

4|x|²-5|x|+1=0

|x|=t

4t²-5t+1=0

(4t-1)(t-1)=0

Отсюда

t-1=0, t=1 и 4t-1=0, t=1/4

Тогда

|x|=1 => x=-1, x=1

|x|=1/4, x=-1/4, x=1/4

Ищем ООП функции lg(4x-1):

4x-1>0

4x>1

x>1/4

Значит, при ограничении x>1/4 уравнение будет иметь лишь один корень - x=1.

Answer 2

Область определения функции y=lg(4x-1): 4x-1>0 откуда x>1/4.

$(2|x|-1)^2=|x|\\ 4x^2-4|x|+1=|x|\\ 4x^2-5|x|+1=0$

Если $x\geq 0$, то $4x^2-5x+1=0$

$D=25-16=9\\ x_1=\frac{5+3}{8} =1\\ x_2=\frac{5-3}{8}=0.25~~~\notin~~~ (0.25;+\infty)$

Случай $x<0$ можно не рассматривать, ведь корни будут отрицательными и не удовлетворяют неравенству x>1/4

Ответ: 1.