Question

при каких значениях параметра модуль разности корней уравнения x^2-15x+a^2-10a=0 примет набольшие значение

Answer 1

x^2 - 15x + (a^2-10a) = 0

Решаем, как обычное квадратное уравнение

D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4(a^2-10a) = -4a^2 + 40a + 225

Уравнение имеет 2 корня, когда D > 0

x1 = [15 - √(-4a^2 + 40a + 225)] / 2

x2 = [15 + √(-4a^2 + 40a + 225)] / 2

Ясно, что x1 < x2. Модуль разности корней

|x1 - x2| = x2 - x1 = [15 + √(-4a^2 + 40a + 225)] / 2 - [15 - √(-4a^2 + 40a + 225)] / 2 =

= 2√(-4a^2 + 40a + 225) / 2 = √(-4a^2 + 40a + 225)

Максимум этого корня будет в точке максимума подкоренного выражения.

f(a) = -4a^2 + 40a + 225

a0 = -b/(2a) = -40/(-8) = 5

f(5) = -4*25 + 40*5 + 225 = -100 + 200 + 225 = 325

x1 = (15 - √325) / 2 = (15 - 5√13)/2; x2 = (15 + 5√13)/2

|x1 - x2| = x2 - x1 = (15 + 5√13)/2 - (15 - 5√13)/2 = 10√13/2 = 5√13