Question

Стороны прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 3. найдите радиус окружности вписанной В данный треугольник.

Answer 1

Пусть дан прямоугольный ΔАВС, ∠С=90°. Пусть меньший катет АС=а, тогда больший катет ВС=а+3, гипотенуза АВ=а+6.

По теореме Пифагора АВ²=AC²+BC²

(a+6)²=a²+(a+3)²

a²+12a+36=2a²+6a+9

a²-6a-27=0

a=-3 или а=9.

а=-3 не удовлетворяет условию

Значит, АС=9, ВС=12, АВ=15

$S_{\Delta}=\frac{1}{2}P_{\Delta} r\ \Rightarrow r= \frac{2S_{\Delta}}{P_{\Delta}} \\ P_{\Delta}=9+12+15=36\\ S_{\Delta}=\frac{1}{2}AC*BC= \frac{1}{2}*12*9=54\\ r=\frac{54}{18} =3$

Ответ: 3

Answer 2

Пусть первый катет равен х, второй катет - (x+3), а гипотенуза - (x+6). (согласно условию). Тогда по теореме Пифагора:

$x^2+(x+3)^2=(x+6)^2\\ x^2+x^2+6x+9=x^2+12x+36\\ x^2-6x-27=0$

$x_1=-3$ - не удовлетворяет условию

$x_2=9=a$ - первый катет

Тогда второй катет равен b=9+3=12, а гипотенуза c=9+6=15.

Радиус вписанной окружности: $r=\dfrac{a+b-c}{2} =\dfrac{9+12-15}{2}=3$

Ответ: 3.