Question

При каких значениях b уравнения |x^2-5x+6|=b имеет ровно 3 решения

Answer 1

При условии,что $b>0$ возведем в квадрат обе части уравнения, имеем:

$(x^2-5x+6)^2=b^2\\ (x^2-5x+6)^2-b^2=0\\ (x^2-5x+6+b)(x^2-5x+6-b)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x^2-5x+6+b=0~~~\big(\star\big)\\ x^2-5x+6-b=0\big(\star \star\big)$

Это уравнение будет иметь три решения, если один из этих уравнений D>0 и D=0

Найдем дискриминант квадратного уравнения $\big(\star\big)$

$D=25-4(6+b)=25-24-4b=1-4b$

и уравнения $\big(\star \star\big)$

$D=25-4(6-b)=25-24+4b=1+4b$

$\displaystyle \left \{ {{1-4b>0} \atop {1+4b=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{b<0.25} \atop {b=-0.25}} \right. ~~\Rightarrow~ b=-0.25$

или

$\displaystyle \left \{ {{1-4b=0} \atop {1+4b>0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{b=0.25} \atop {b>-0.25}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ b=0.25$

Значение b = -0.25 не удовлетворяет условию, ведь b > 0.

Ответ: b =  0,25.