Question

Sin^3x-cos^3x -sinx • cosx =1

Answer 1

$\sin^3x-\cos^3x-\sin x\cos x=1\\ (\sin x-\cos x)(\sin^2x+\cos^2x+\sin x\cos x)-\sin x\cos x=1\\ (\sin x-\cos x)(1+\sin x\cos x)-\sin x\cos x=1$

Положим $\sin x-\cos x=t$, при этом $|t|\leq \sqrt{2}$ и возведем в квадрат обе части: $1-2\sin x\cos x=t^2~~\Rightarrow~~ \sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$

Получим

$t(1+\frac{1-t^2}{2}) -\frac{1-t^2}{2}=1~~|\cdot 2\\ t(3-t^2)-1+t^2=2\\ 3t-t^3-1+t^2-2=0\\ t^3-t^2-3t+3=0\\ t^2(t-1)-3(t-1)=0\\ (t-1)(t^2-3)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в 0

$t-1=0~~~\Rightarrow~~~ t_1=1$

$t^2-3=0~~~ \Rightarrow~~~ t_{2,3}=\pm\sqrt{2}$ - не удовлетворяет условию при $|t|\leq \sqrt{2}$

Возвращаемся к обратной замене:

$\sin x-\cos x=1\\ \sqrt{2} \sin(x-\frac{\pi}{4})=1\\ \sin(x-\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2} } \\ x-\frac{\pi}{4}=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}$