Если функция у=((а-3)/3)*х^3-a*x^2+x(3a-6) не убывает по всей числовой оси,то а принадлежит множеству, в котором наименьшее целое значение числа а равно?
Ответы
Функция растет или постоянна, значит, производная не меньше нуля.
Найдем производную.
у'=3*(а-3)х²/3-2ах+3а-6=(а-3)х²-2ах+3а-6≥0, при а=3 это линейная функция. у'=-6х+9-6; у'=-6х+3, неотрицательна при х∈(-∞;1/2]
при а≠3 это квадратичная функция. она равна нулю или больше нуля т.е. не убывает на всей числовой прямой, если старший коэффициент ее больше нуля, т.е. а-3>0; a>3.
дискриминант равен или меньше нуля. т.е.
D=4а²-4(3а-6)*(а-3)≤0;
4а²-4(3а²-9а-6а+18)≤0; -2а²+15а-18≤0, найдем корни левой части, -2а²+15а-18≤0; т.е. корни квадратного трехчлена 2а²-15а+18=0
а=(15±√(225-144))/4=(15±9)/4; а=6; а=1.5;
неравенство -2а²+15а-18≤0, -2*(а-1.5)*(а-6)≤0
решим методом интервалов.
_______1.5_______6____________
- + -
Решением неравенства будет
а∈(-∞;1.5]∪ [6;+∞) с учетом того, что а∈(3;+∞) решением неравенства будет интервал [6;+∞)
наименьшее целое значение а равно 6
Ответ [6;+∞); а=6 наименьшее целое значение, при котором функция не убывает на всей числовой оси.