Question

При каком значении а система неравенств имеет единственное решение: (20 баллов), пожалуйста, очень срочно

Answer 1

Рассмотрим первое неравенство:

3/(x-a) >= 1

если x-a > 0, т.е. x>a:

3/(x-a) >= 1

3 >= x-a

x =< 3+a

a < x <= a+3

если x-a < 0, т.е. x<a:

3/(x-a) >= 1

3 <= x-a

x >= 3+a

x<a и x>=a+3 - нет решений.

Решение первого неравенства:

a < x <= a+3

Рассмотрим второе неравенство:

|x-2a-2|<=1

если x-2a-2>=0, т.е. x >= 2a+2:

x-2a-2<=1

x<=2a+3

2a+2<=x<=2a+3

если x-2a-2>=0, т.е. x < 2a+2:

-x+2a+2<=1

x>=2a+1

2a+1<=x<2a+2

Решение второго неравенства: 2a+1<=x<=2a+3

Решение системы - пересечение промежутков:

a<x<=a+3

2a+1<=x<=2a+3

Решением будет одна точка, если a+3 = 2a+1

a=2

Ответ: a=2

(я выкинул случай x-a = 0, т.к. в первом неравенстве было бы деление на ноль, и значение левой части неравенства не определено. (Там предел слева и справа при x -> a разных знаков), но если определиться, что мы рассматриваем положительную ветвь функции, и включим эту точку (т.е. скажем, что 3/(x-a) -> +inf при x -> a), то появится случай 2a+3 = a или a = -3) )