Question

sin6x+ctg3x*cos6x=cos3x на промежутке (-n/2; 2n)

Answer 1

Умножим левую и правую части уравнения на $\sin 3x\ne 0$, получим:

$\cos 6x\cos 3x+\sin6x\sin3x=\cos3x\sin3x\\ \cos(6x-3x)=\cos 3x\sin 3x\\ \cos 3x-\cos3x\sin3x=0\\ \cos3x(1-\sin 3x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$\cos3x=0\\ 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~\Rightarrow~~~ x_1=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},n \in \mathbb{Z}$

$1-\sin3x=0\\ \sin3x=1\\ 3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}~~~\Rightarrow~~~x_2=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},n \in \mathbb{Z}$

Отбор корней

Для корня $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},n \in \mathbb{Z}$

$n=0;~~~ x=\frac{\pi}{6}\\ n=1;~~~ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi}{2}\\ n=2;~~~ x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{6} \\ n=3;~~~x= \frac{\pi}{6}+\pi =\frac{7\pi}{6} \\ n=4;~~~ x=\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3}=\frac{3\pi}{2} \\ n=5;~~~x=\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{3}=\frac{11\pi}{6} \\ n=-1;~~~ x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}$