Question

При каких значениях параметра (a) оба корня уравнения x^2+2ax+2x+9a-5=0 отрицательны?

Answer 1

Немного преобразуем уравнение.
x² + 2(a+1)x +(9a-5)=0
D/4=(a+1)²-(9a-5)=a²+2a+1-9a+5=a²-7a+6

Квадратное уравнение вида ax²+bx+c=0 (a≠0) имеет два неравных отрицательных корня при следующих условиях: D>0, ac>0, b>0.

Начнем пожалуй с дискриминанта, он должен быть больше или равен нулю, иначе уравнение вобще не будет иметь действительных корней. Нулевой дискриминант возьмем в особый случай, а пока прорешаем неравенство, где он больше нуля.

a²-7a+6>0
D=49-24=25
a₁=(7-5)/2=1
a₂=(7+5)/2=6

__+__\1__-__6/__+_>
a∈(-∞;1)∪(6; ∞)

При этих значения, квадратное уравнение будет иметь два неравных корня.

Второе условие: ac>0
9a-5>0
9a>5
a>5/9
Следовательно, пока, что подходят все значения начиная от 6.

Последнее условие: b>0
2(a+1)>0
a+1>0
a>-1

Из всего этого, a∈(6; ∞)

Внимание нулевому дискриминанту! Из первого неравенства мы вычислили значения a при которых дискриминант равен нулю (a₁=1, a₂=6). При а=6, имеется один отрицательный корень, что можно расценить как 2 равных, таким образом 6 так-же входит к нужным значениям. Осталось проверить a=1.
x²+4x+4=0
(x+2)²=0
x=-2
Единица тоже подходит.

Следовательно при a∈{1}∪[6;∞) оба корня данного уравнения отрицательны. Это и есть ответ.

Answer 2

Пусть общий вид квадратного уравнения : $x^2+px+q=0$

Оба корни квадратного уравнения будут отрицательным, если D>0 и p>0, q>0

$x^2+2x(a+1)+9a-5=0\\ D=4(a+1)^2-4(9a-5)=4(a^2-7a+6)$

$\displaystyle \left \{ {{4(a^2-7a+6)>0} \atop {2(a+1)>0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{a \in (-\infty;1)\cup(6;+\infty)} \atop {a>-1}} \right.$

9a-5>0 откуда a>5/9

Откуда получим $a \in (6;+\infty)$ - при этом уравнение имеет два различных отрицательных корня.