Question

Найдите все значения х>1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел а=log_2(x)+2log_x (32-2) и b=41-log2 x больше 5
2

Answer 1

Надеюсь, что задание звучит так, потому что припоминаю что-то знакомое...

Найдите все значения х>1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел

а=log₂x+2log₎₍32-2 и

b=41-log₂²x² больше 5.

Скорее, приписка в задании "наибольшее из двух чисел" говорит нам лишь о том, что стоит составить совокупность двух неравенств для объединения решений, а вычислять, какое из этих чисел a или b будет больше нет смысла.

Тогда имеем:

[a>5 <=> [log₂x+2log₎₍32-2>5 (1)

[b>5 <=> [41-log₂²x²>5 (2)

Решаем (1):

log₂x+2log₎₍32-2>5

ОДЗ: x>0, x≠1 <=> x∈(0;1)U(1;+∞)

log₂x+10/log₂x-2>5

Замена: log₂x=t

t+10/t-2>5

t+10/t-7>0

(t-2)(t-5)/t>0 => t∈(0;2)U(5;+∞)

{0<t<2, 0<log₂x<2

{t>5, log₂x>5

<=> {log₂1<log₂x<log₂4, 1<x<4

<=> {log₂x>log₂32, x>32

Тогда ответ (1) x∈(1;4)U(32;+∞)

Решаем (2):

41-log₂²x²>5

ОДЗ: x>0

-log₂²x²>5-41

-4log₂²x>-36

log₂²<9

|log₂x|<3

[{log₂x<3, x<2³, x<8

[{log₂x≥0, x≥2⁰, x≥1

[

[{-log₂x<3, log₂x>3, x>2⁻³, x>1/8

[{log₂x<0, x<2⁰, x<1

Тогда

[x∈[1;8)

[x∈(1/8;1)

Тогда ответ (2) x∈(1/8;8)

Возвращаемся к основной совокупности:

[x∈(1;4)U(32;+∞)

[x∈(1/8;8)

Учитывая ОДЗ (x>1), получаем, что наибольшее из чисел a и b будет больше 5 при значениях

x∈(1;8)U(32;+∞).