Question

При каких значениях параметра a уравнение √(|x-2|) = √(a*x+1) имеет более одного решения?

Нужно подробное решение

Answer 1

Раз область значений функций левой и правой части уравнения $[0;+\infty)$, то, приравняв левую и правую части уравнения к нулю, получим $|x-2|=0$ и $ax+1=0$ откуда $x=2$ и $a=-0.5$ - одно решение

Левая часть - под коренное выражение неотрицательно, т.е. уравнение будет зависеть только от правой части.

$ax+1\geq 0$

Возводим левую и правую части уравнения в квадрат

$|x-2|=ax+1$

При условии, что $ax+1\geq 0$, возводим снова в квадрат обе части уравнения:

$(x-2)^2=(ax+1)^2\\ (x-2)^2-(ax+1)^2=0$

В левой части применим формулу разности квадратов:

$(x-2-ax-1)(x-2+ax+1)=0\\ (x(1-a)-3)(x(1+a)-1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x(1-a)-3=0$ откуда $x=\frac{3}{1-a}$

$x(1+a)-1=0$ откуда $x=\frac{1}{1+a}$

Теперь исследуем на условии $ax+1\geq 0$. Подставляем первый корень

$a\cdot \frac{3}{1-a} +1\geq 0~~~\Rightarrow~~~\frac{2a+1}{1-a}\geq 0$

Решением этого неравенства является промежуток $a \in [-0.5;1)$

Подставим теперь второй корень.

$a\cdot \frac{1}{1+a} +1\geq0~~~\Rightarrpw~~~ \frac{2+a}{1+a}\geq 0$

решением этого неравенства является промежуток $a \in (-\infty;-2]\cup(-1;+\infty)$

Пересечение этих двух решений: $a \in [-0.5;1)$. Из выше сказанного при а = -0,5 уравнение имеет одно решение. Поэтому при $a \in (-0.5;1)$ данное уравнение имеет более одного решения.

Ответ: при a ∈ (-0.5;1).

Answer 2

Для разнообразия графический метод, потому что он для ленивых