Question

Для каждого значения а решить уравнение

Answer 1

ОДЗ: x > 0, x - 3a > 0.

$\log_2^2\left(\dfrac{x-3a}x\right)+4\log_4(x-3a)\log_2x-8\log_4^2x=0$

Приводим все логарифмы к одинаковому основанию по формуле $\log_{a^k}b=\frac1k\log_ab$:

$\log_2^2\left(\dfrac{x-3a}x\right)+2\log_2(x-3a)\log_2x-2\log_2^2x=0$

Переписываем логарифм частного как разность логарифмов и раскрываем квадрат разности:

$\left(\log_2(x-3a)-\log_2x\right)^2+2\log_2(x-3a)\log_2x-2\log_2^2x=0\\ (\log_2^2(x-3a)-2\log_2(x-3a)\log_2x+\log_2^2x)+\\+2\log_2(x-3a)\log_2x-2\log_2^2x=0\\ \log_2^2(x-3a)-\log_2^2x=0$

Получили разность квадратов. Раскладываем на множители:

$(\log_2(x-3a)-\log_2x)(\log_2(x-3a)+\log_2x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Значит, уравнение выше на ОДЗ эквивалентно совокупности двух уравнений:

$\left[\begin{array}{l}\log_2(x-3a)-\log_2x=0\\\log_2(x-3a)+\log_2x=0\end{array}\right.\quad\left[\begin{array}{l}\log_2(x-3a)=\log_2x\\\log_2(x-3a)=\log_2 \dfrac1x\end{array}\right.\\\left[\begin{array}{l}x-3a=x\\x-3a=\dfrac1x\end{array}\right.$

Перед тем, как идти дальше, хочется отметить, что если x > 0, то из равенств выше автоматически x - 3a > 0. Значит, при отборе корней можно будет проверить только неравенство x > 0, второе неравенство из ОДЗ будет выполнено, если выполнено первое.

Решаем дальше:

– первое уравнение совокупности:

x - 3a = x

3a = 0

a = 0

Если a = 0, то решение – x ∈ R (с учетом ограничений ОДЗ x > 0)

– второе уравнение совокупности:

$x-3a=\dfrac1x\\ x(x-3a)=1\\ ((x-1.5a)+1.5a)((x-1.5a)-1.5a)=1\\ (x-1.5a)^2-2.25a^2=1\\ (x-1.5a)^2=2.25a^2+1>0\\ x-1.5a=\pm\sqrt{2.25a^2+1}\\ x=1.5a\pm\sqrt{2.25a^2+1}$

Нужно проверить, при каких a найденное решение удовлетворяет ОДЗ.

1) $x=1.5a+\sqrt{2.25a^2+1}>0$

$\sqrt{2.25a^2+1}>-1.5a$

Если a > 0, неравенство выполняется: левая часть положительна, правая отрицательная.

Пусть a < 0, тогда обе части неравенства положительны, можно возвести в квадрат

$2.25a^2+1>2.25a^2\\ 1>0$

Это неравенство выполнено также при всех a.

2) $x=1.5a-\sqrt{2.25a^2+1}$

Аналогично первому корню, можно проверить, что этот корень отрицательный при всех a, и поэтому не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: все x > 0 при a = 0, $x=1.5a+\sqrt{2.25a^2+1}$ при a ≠ 0.