Question

Решите уравнение

$3tg^{2}+7=\frac{2}{sin^{2}x}$

Answer 1

$3 ({tgx})^{2} + 7 = \frac{2}{ ({ \sin(x) })^{2} }$

ОДЗ: sinx ≠ 0
x ≠ πn, n € Z
Так как
$\frac{1}{ ({ \sin(x) })^{2} } = ( {ctgx})^{2} + 1 \\ \\ \frac{2}{ ({ \sin(x) })^{2} } = 2( {ctgx})^{2} + 2$

Подставляем в формулу:

$3 ({tgx})^{2} + 7 = 2 ({ctgx})^{2} + 2 \\ \\ 3 ({tgx})^{2} + 7 = 2 ({ \frac{1}{tgx} })^{2} + 2 \\ \\ 3 ({tgx})^{2} - 2 ({ \frac{1}{tgx} })^{2} + 5 = 0$

Сделаем замену:
$y = ({tgx})^{2} \\ \\ 3y - \frac{2}{y} + 5 = 0 \\ \\ 3 {y}^{2} + 5y - 2 = 0 \\1) \: y = - 2 \\ 2) \: y = \frac{1}{3}$

Обратная замена =>

$1) \: y = - 2 \\ \\ ({tgx})^{2} = - 2 \:$
Не имеет смысла, так как а² ≥ 0

$2) \: y = \frac{1}{3} \\ \\ \: ( {tgx})^{2} = \frac{1}{3} \\ \\ a) \: tgx = - \frac{ \sqrt{3} }{3 } \\ \\ x = - \frac{\pi}{6} + \pi \: n \\ \\ b) \: tgx = \frac{ \sqrt{3} }{3} \\ \\ x = \frac{\pi}{6} + \pi \: n$

ОТВЕТ:
$x = + - \frac{\pi}{6} + \pi \: n$
n € Z

Удачи тебе! :)