Question

докажите тождество, пожалуйста.

Answer 1

$\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha-\sin2\alpha}{1-\cos2\alpha-\sin2\alpha}=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}=\\ \\ =\frac{2\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha}=-\frac{2\cos\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha)}{2\sin\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha)}=-\frac{2\cos\alpha}{2\sin\alpha}=-\mathrm{ctg} \alpha$

Answer 2

1) Упростим числитель:

1+cos(2α)-sin(2α)=sin²α+cos²α+cos²α-sin²α-2*sinα*cosα=2*cos²α-2*sinα*cosα=

=2*cosα*(cosα-sinα).

2) Упростим знаменатель:

1-cos(2α)-sin(2α)=sin²α+cos²α-cos²α+sin²α-2*sinα*cosα=2*sin²α-2*sinα*cosα=

=2*sinα*(sinα-cosα)=-2*sinα*(cosα-sinα).

3) Разделим числитель на знаменатель:

2*cosα*(cosα-sinα)/(-2*sinα*(cosα-sinα)=-cosα/sinα=-ctgα.

Тождество доказано.