Предмет: Математика, автор: kristifka

Решить двойной интеграл...

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Аноним
1

Раз область  G - единичный круг с центром в начале координат, то данный интеграл будем вычислять в полярных координатах.

Заменяя:  \displaystyle \left \{ {{x=\rho\cos \varphi} \atop {y=\rho\sin \varphi}} \right.  и дифференцируя  dxdy=\rho d\rho d\varphi

 x^2+y^2=1\\ (\rho \cos \varphi)^2+(\rho \sin \varphi)^2=\rho^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=1\\ \rho^2=1


Из определения  \rho \geq 0 ,т.е. получим что  0\leq\rho\leq 1 и угол изменяется в пределах  0\leq \varphi\leq 2\pi

Подставим в подынтегральное выражение в полярной системе координат

 \sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{\rho^2} =\rho


Осталось подставить все данные в двойной интеграл и перейти к повторному интегралу, то есть

 \displaystyle \int\int _G=\sqrt{x^2+y^2}dxdy=\int\int _{G_0}\rho^2d\rho d\varphi=\int\limits^{2\pi}_0 {} \, d\varphi\int\limits^1_0{\rho^2} \, d\rho=\\ \\ =2\pi    \int\limits^1_0 {\rho^2} \, d\rho=2\pi \cdot\frac{\rho^3}{3} \bigg|^1_0=\frac{2\pi}{3}


Похожие вопросы
Предмет: История, автор: sergeimr33
Термины Определение. 1 Гласность A 2 Перестройка Б лозунг и политический курс Генерального секретаря ЦК КПСС Михайла Горбачёва, провозглашённый 23 апреля 1985 года, на апрельском пленуме ЦК КПСС, одно из ключевых направлений реформаторского курса («гласность перестройка) политическая система, в основе которой лежит метод коллективного принятия решений с равным воздействием участников на исход процесса или на его существенные стадии. общее название реформ и новой идеологии советского партийного руководства, используемое для обозначения больших и неоднозначных перемен в экономической и политической структуре СССР, инициированных генеральным секретарём ЦК КПСС М. С. Горбачёвым в 1985—1991 годах. политика максимальной открытости в деятельности государственных учреждений и свободы информации 3 Демократия в 4 Ускорение Г​
Предмет: Окружающий мир, автор: damilabekbolat
Предмет: Информатика, автор: Аноним