Question

Решить двойной интеграл...

Answer 1

Раз область $G$ - единичный круг с центром в начале координат, то данный интеграл будем вычислять в полярных координатах.

Заменяя: $\displaystyle \left \{ {{x=\rho\cos \varphi} \atop {y=\rho\sin \varphi}} \right.$ и дифференцируя $dxdy=\rho d\rho d\varphi$

$x^2+y^2=1\\ (\rho \cos \varphi)^2+(\rho \sin \varphi)^2=\rho^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=1\\ \rho^2=1$

Из определения $\rho \geq 0$,т.е. получим что $0\leq\rho\leq 1$ и угол изменяется в пределах $0\leq \varphi\leq 2\pi$

Подставим в подынтегральное выражение в полярной системе координат

$\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{\rho^2} =\rho$

Осталось подставить все данные в двойной интеграл и перейти к повторному интегралу, то есть

$\displaystyle \int\int _G=\sqrt{x^2+y^2}dxdy=\int\int _{G_0}\rho^2d\rho d\varphi=\int\limits^{2\pi}_0 {} \, d\varphi\int\limits^1_0{\rho^2} \, d\rho=\\ \\ =2\pi \int\limits^1_0 {\rho^2} \, d\rho=2\pi \cdot\frac{\rho^3}{3} \bigg|^1_0=\frac{2\pi}{3}$