Question

Для каждого значения параметра b решите уравнение

Answer 1

$3x-|bx-2|=0\\ |bx-2|=3x$

При условии, что правая части уравнения $x\geq 0$, возводим в квадрат левую и правую части уравнения.

$(bx-2)^2=9x^2\\ (bx-2)^2-9x^2=0\\ (bx-2-3x)(bx-2+3x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x(b-3)-2=0$ откуда $x=\frac{2}{b-3}$

$x(b+3)-2=0$ откуда $x=\frac{2}{b+3}$

Теперь проверим на условии когда уравнение имеет решений, а когда нет.

$\frac{2}{b-3} \geq 0$ - зависит от знаменателя, это верно при $b>3$

$\frac{2}{b+3} \geq 0$ также зависит от знаменателя, верно при b>-3

Окончательный вывод:

При $b \in (3;+\infty)$ уравнение имеет два действительных корня, а именно $x=\frac{2}{b\pm3}$.

При $b \in (-3;3)$ уравнение имеет одно единственное решение, то есть корень $x=\frac{2}{b+3}$

При $b \in (-\infty;-3)$ уравнение действительных корней не имеет.

При $b=3$ уравнение имеет единственный корень $x=\frac{1}{3}$