Question

Мат. статистика. Задача(диагностика начальной формы туберкулёза)

Answer 1

1. Выбор нулевой гипотезы $H_0$

$H_1$ - пациент здоров

$H_2$ - пациент страдает

Последствия ошибки при отклонении гипотезы $H_2$ - пациент болен - серьезно, поэтому:

$H_0$ - пациент болен

$H_1$ - пациент здоров

2. Определение случайной величины и распределения. $\xi$ - число положительных рентгеновских анализов из 2-х сделанных.

$\xi=0,1,2$

$H_0$ - справедлива: $\xi\sim P_0(k)=C^k_2p_0^k(1-p_0)^{2-k},~~~~~~k=0,1,2$

$H_1$ - справедлива: $\xi \sim P_1(k)=C^k_2p_1^k(1-p_1)^{2-k}$

$\boxed{k~~~~~\,}\boxed{0~~~~}\boxed{1~~~\,}\boxed{2~~~~}~~~~~~~~~~~~\boxed{k~~~~~\,}\boxed{0~~~~~~~}\boxed{1~~~~~~~}\boxed{2~~~~~~~}\\ \boxed{P_0(k)}\boxed{0.01}\boxed{0.18}\boxed{0.81}~~~~~~~~~~~~\boxed{P_1(k)}\boxed{0.9025}\boxed{0.0950}\boxed{0.0025}$

3. Выбор критерия

$S:$ $\xi(w)\in S$, то $H_0$ отклоняем; $\xi(w)\notin S$, то $H_0$ не отклоняем

$S=\{x:x\leq l\}$

4. Выбор уровня значимости.

Уровень значимости $\alpha$ - число, что ограничивает сверху вероятность ошибки первого рода. Пусть $\alpha =0,01$ Тогда

$P_0(S)=P\{S|H_0\}=P\{\xi\leq l|H_0\}=\displaystyle \sum^l_{k=0}C_2^kp_0^k(1-p_0)^{2-k}\leq 0.01$

То есть $S=\{x:x\leq 0\}$

5. Вероятность ошибки первого и второго рода:

$P\{S|H_0\}=P\{\xi\leq 0|H_0\}=0.01$ - вероятность ошибки первого рода(верную гипотезу отклоняем)

$P\{\overline{S}|H_1\}=1-P\{S|H_1\}=1-0.9025=0.0975$ - вероятность ошибки второго рода(неверную гипотенуз не отклоняем)

6. Мощность критерия.

Мощность критерия равна вероятности отклонения $H_0$, когда$H_0$ неверная

$\beta(1)=P\{S|H_1\}=P\{\xi\leq 0|H_1\}=0.9025$

Исследуем теперь как изменится функция мощности критерия от изменения уровня значимости:

$\alpha=0.01~~~~ ~~~~S=\{x:x=0\}~~~ \beta(1)=P\{S|H_1\}=0.9025\\\alpha=0.1~~~~ ~~~~S=\{x:x=0\}~~~ \beta(1)=P\{S|H_1\}=0.9025\\\alpha=0.2~~~~ ~~~~S=\{x:x\leq1\}~~~ \beta(1)=P\{S|H_1\}=P_1(0)+P_1(1)=0.9975$

При увеличении уровня значимости увеличивается вероятность отклонения гипотезы, если она неверная. При этом увеличивается вероятность ошибки I рода.